5회분 통합본
🏛️ 2027학년도 한양대학교 자연계열 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회)분 통합 문제집
QUESTIO MATH ESSAY
5개년 통합 기출 문제집 (자연계열 오전)
한양대학교(2026 + 2025 + 2024 + 2023 + 2022 수록)
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2027학년도 수험생용
[문제 1] 다음 물음에 답하시오. (50점)
1-1 \(\overline{AB} = 5\), \(\overline{AC} = 3\)이고 넓이가 \(\sqrt{26}\)인 삼각형 \(ABC\)가 있다. \(\angle A\)가 예각일 때 삼각형 \(ABC\)의 내접원의 반지름의 길이를 구하시오. (15점)
1-2 자연수 \(n\)에 대하여 집합 \(X = \{a, b, c\}\)에서 집합 \(Y = \{y \mid y\text{는 } n\text{ 이하의 자연수}\}\)로의 함수 \(f\) 중에서 다음 조건을 만족시키는 것의 개수를 \(a_n\)이라 하자.
\(f(a)\)는 홀수 또는 \(f(b)\)는 짝수이다.
\(S_n = \sum_{k=1}^n a_k\)라 할 때 \(\frac{S_9 - S_1}{S_{12}}\)의 값을 구하시오. (15점)
1-3 \(\int_{1/2}^2 \left| (x+2)(x-1)^2 - 4\sin\frac{(2n-1)\pi}{6} \right| dx < 4\)를 만족시키고 \(2026\)보다 작은 자연수 \(n\)의 개수를 구하시오. (20점)
[문제 2] 다음 물음에 답하시오. (50점)
2-1 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.
(1) \(f(x) = \begin{cases} -(e^x - \cos x)^{2026}\sin x & (0 \le x \le 2\pi) \\ x - 2\pi & (x > 2\pi) \end{cases}\)
함수 \(g(x) = \left| \int_a^x f(t) dt \right|\)가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 실수 \(a\)의 값을 모두 구하시오. (15점)
2-2 원 \(x^2 + y^2 = 1\)과 직선 \(y = a(x-1)\) (\(a > 1\))이 서로 다른 두 점 \(P, Q\)에서 만나고, 원 \(x^2 + y^2 = 1\)과 직선 \(y = a(x-1) + k\) (\(k\)는 양의 실수)가 서로 다른 두 점 \(R, S\)에서 만난다. 두 선분 \(PQ, RS\)와 길이가 \(\pi\)보다 작은 두 호 \(PR, QS\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(S(k)\)라 하자. 극한값 \(\lim_{k \to 0^+} \frac{S(k)}{k}\)를 구하시오. (단, 점 \(P\)의 \(x\)좌표는 점 \(Q\)의 \(x\)좌표보다 크고, 점 \(R\)의 \(x\)좌표는 점 \(S\)의 \(x\)좌표보다 크다.) (15점)
2-3 모든 실수 \(t\)에 대하여 함수 \(g(t)\)가 \(g(t) \ge 0\)이고 이계도함수를 갖는다. 좌표평면 위를 움직이는 점 \(P\)의 시각 \(t\) (\(0 \le t \le 4\))에서의 위치를 \((t, g(t))\)라 하자. 점 \(P\), 함수 \(f(x)\)와 함수 \(h(t) = f(g(t))\) (\(0 \le t \le 4\))는 다음 조건을 만족시킨다.
(1) \(t = \frac{1}{4}\)일 때 점 \(P\)는 \(x\)축 위에 있고 가속도는 \((0, 1)\)이다.
\(f(3)\)의 값을 구하시오. (20점)
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[문제 1] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)
각 자릿수가 \(0\) 또는 \(1\)이고, 일의 자리를 제외한 각 자리에 나타나는 \(0\)의 개수의 합이 \(1\) 이하인 모든 자연수의 집합을 \(A\)라 하자. 또한 자연수 \(n\)에 대하여 집합
\[A_n = \{x \mid x \in A \text{ 이고 } n-1 \le \log_{10} x < n\}\]
이라 하자. 예를 들어, \(11101110\), \(11111110\)은 집합 \(A_8\)의 원소이고 \(11111001\)은 집합 \(A_8\)의 원소가 아니다.
\(60\)보다 큰 자연수 \(r\)에 대하여, 집합 \(A\)의 원소를 작은 수부터 크기순으로 나열하여 첫 번째부터 \(r\)번째까지의 숫자를 크기와 모양이 같은 카드에 한 개씩 적어 상자에 넣었다. 이 상자에서 임의로 한 장의 그 카드에 적힌 숫자가 \(10^5\)보다 크고 \(10^9\)보다 작은 수일 확률이 \(\frac{4}{7}\)이다. 이 상자에서 임의로 한 장의 카드를 뽑아 그 카드에 적힌 숫자에 나타나는 \(0\)의 개수를 확률변수 \(X\)라 하자.
1-1 \(r\)의 값을 구하시오. (30점)
1-2 \(V(X)\)의 값을 구하시오. (40점)
1-3 집합 \(A_n\)의 원소에 나타나는 숫자 \(1\)의 총 개수를 \(a_n\)이라 하자. 예를 들어, \(A_2 = \{10, 11\}\)이므로 \(a_2 = 3\)이다. 이때 \(\sum_{k=1}^{20} a_k\)의 값을 구하시오. (30점)
[문제 2] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점) <가> 함수 \(f(x) = \frac{1}{x^2+1}\)과 \(-\frac{1}{\sqrt{3}} < t < \frac{1}{\sqrt{3}}\)인 실수 \(t\)에 대하여 점 \(A(t, f(t))\)가 있다. 점 \(A\)가 아닌 곡선 \(y=f(x)\) 위의 서로 다른 두 점 \(B, C\)에 대하여 점 \(B\)에서의 접선과 점 \(C\)에서의 접선이 모두 점 \(A\)를 지날 때, 직선 \(AB\), 직선 \(AC\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 \(g(t)\)라 하자.<나> 자연수 \(n\)에 대하여 원 \(x^2+y^2 = 40n^4\)과 직선 \(y = -3x + 10n\)이 만나는 서로 다른 두 점을 \(P_n, Q_n\)이라 하자. 선분 \(P_n Q_n\) 위의 점 중 \(x\)좌표가 정수인 점의 개수를 \(T_n\)이라 하자.<다> 수열 \(\{a_n\}\)은 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(\sum_{k=1}^n a_k = T_n + 1\)을 만족시킨다.
2-1 \(g(t)\)를 \(t\)에 대한 식으로 나타내시오. (40점)
2-2 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항을 구하시오. (40점)
2-3 \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n g''\left(\frac{a_k+4}{16n}\right)\)의 값을 구하시오. (20점)
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[문제 1] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점) <가> 등비수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 급수 \(\sum_{n=1}^\infty a_n\)이 수렴하고,
\[ \sum_{n=1}^\infty a_{2n} = -4, \quad \sum_{n=1}^\infty |a_n| = 20 \]
이 성립한다.<나> 최고차항의 계수가 \(1\)인 이차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.<다> \(x>0\)에서 정의된 함수 \(g(x) = e^{-x}|\cos x|\)에 대하여 수열 \(\{b_n\}\)이 다음 조건을 만족시킨다.
1-1 급수 \(\sum_{n=1}^\infty a_{4n-1}\)의 합이 될 수 있는 값을 모두 구하시오. (30점)
1-2 \(f(10)\)의 값을 구하시오. (40점)
1-3 급수 \(\sum_{n=1}^\infty b_n\)의 합을 구하시오. (30점)
[문제 2] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점) <가> 파란 상자에는 숫자 \(1, 2, 3, 4\)가 하나씩 적혀 있는 \(4\)개의 공이 들어 있고, 빨간 상자에는 숫자 \(5\)가 적혀 있는 공이 \(4\)개, 숫자 \(6\)이 적혀 있는 공이 \(3\)개 들어 있다. 파란 상자에서 임의로 \(1\)개의 공을 꺼낼 때 공에 적힌 수를 \(k\), 빨간 상자에서 임의로 \(4\)개의 공을 동시에 꺼낼 때 숫자 \(5\)가 적힌 공의 개수를 \(l\)이라 하자.<나> 평균이 \(10\), 표준편차가 \(4\)인 확률변수 \(X\)에 대하여, 확률변수 \(Y = -0.5X + 5\)의 평균을 \(m\), 표준편차를 \(\sigma\)라 하자. 정규분포 \(N(m, \sigma^2)\)을 따르는 모집단에서 크기가 \(n\)인 표본을 임의추출하여 추정한 모평균 \(m\)에 대한 신뢰도 \(98.76\%\)의 신뢰구간은 \(a \le m \le b\)이고 신뢰도 \(86.64\%\)의 신뢰구간은 \(c \le m \le d\)이다. (단, \(Z\)가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, \(P(0 \le Z \le 1.0) = 0.3413, P(0 \le Z \le 1.5) = 0.4332, P(0 \le Z \le 2.0) = 0.4772, P(0 \le Z \le 2.5) = 0.4938\)로 계산한다.)
2-1 제시문 <가>에서 주어진 \(k, l\)에 대하여 \(\frac{k}{l}\)의 값을 확률변수 \(W\)라 할 때, \(W\)의 기댓값 \(E(W)\)를 구하시오. (30점)
2-2 제시문 <가>에서 주어진 \(k, l\)에 대하여 가로의 길이가 \(k\)이고 세로의 길이가 \(l\)인 직사각형을 한 변의 길이가 \(1\)인 \(k \times l\)개의 정사각형으로 나눈 도형이 있다. 이 도형의 왼쪽 아래 꼭짓점을 \(A\), 오른쪽 위 꼭짓점을 \(B\)라 하자. (오른쪽 그림은 \(k=3, l=4\)인 경우이다.) 한 변의 길이가 \(1\)인 정사각형의 변을 따라 점 \(A\)에서 점 \(B\)까지 최단거리로 이동하는 경우의 수를 확률변수 \(U\)라 할 때, \(P(U \le 10)\)을 구하시오. (40점)
2-3 제시문 <나>를 읽고 두 부등식 \(1 < b - a\)와 \(d - c < \frac{6}{5}\)을 만족시키는 자연수 \(n\)의 최댓값과 최솟값을 구하시오. (30점)
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[문제 1] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)
오른쪽 그림과 같이 길이가 \(2\)인 선분 \(AB\)를 지름으로 하는 반원이 있다. 점 \(O\)는 선분 \(AB\)의 중점이다. 호 \(AB\) 위의 한 점 \(R\)에서 선분 \(AB\)에 내린 수선의 발을 \(H\)라 하고, 점 \(H\)에서 선분 \(AR\)에 내린 수선의 발을 \(P\)라 하자.
1-1 \(\angle ROB = \frac{\pi}{3}\)일 때, \(\overline{OP}^2 + \overline{BP}^2\)의 값을 구하시오. (30점)
1-2 점 \(R\)가 \(A\)에서 \(B\)까지 호 \(AB\) 위를 움직일 때, 선분 \(OP\)의 길이의 최솟값을 구하시오. (40점)
1-3 점 \(R\)가 \(A\)에서 \(B\)까지 호 \(AB\) 위를 움직일 때, 점 \(P\)가 이루는 곡선과 선분 \(AB\)로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 선분 \(AB\)에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피를 구하시오. (30점)
[문제 2] 다음 물음에 답하시오. (50점)
2-1 수열 \(\{a_n\}\)은 모든 자연수 \(n\)에 대하여
\[ \frac{a_n}{n+1} = \int_0^\beta \sin^n x \cos x \, dx \]
를 만족시킨다. \(\sum_{n=1}^\infty a_n = \frac{1}{6}\)일 때, \(\tan\beta\)의 값을 구하시오. \(\left(\text{단, } 0 < \beta < \frac{\pi}{2}\right)\) (40점)
2-2 평균이 \(m\), 표준편차가 \(\sigma\)인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 \(n\)인 표본을 임의추출할 때, 표본평균을 \(\bar{X}\)라 하자. 이 모집단의 확률변수를 \(X\)라 할 때, 두 확률변수 \(X, \bar{X}\)가 다음 세 조건을 만족시킨다. 이때, \(m + \sigma + n\)의 값을 구하시오. (단, \(Z\)가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, \(P(0 \le Z \le 1.5) = 0.4332, P(0 \le Z \le 2.0) = 0.4772, P(0 \le Z \le 2.5) = 0.4938\)로 계산한다.) (30점)
2-3 평평한 면과 둥근 면이 나올 확률이 각각 \(p, 1-p\)인 윷짝 한 개를 \(2023\)번 던졌을 때, 평평한 면이 나온 횟수가 짝수일 확률을 \(p\)에 대한 식으로 나타내시오. (단, \(0\)은 짝수이다.) (30점)
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[문제 1] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)
1-1 평면 \(\alpha\) 위에 삼각형 \(ABC\)가 있다. \(\overline{AB} = \overline{AC} = 1\)이고 각 \(A\)는 직각이며 선분 \(BC\)는 직선 \(\ell\)과 평행할 때, 선분 \(AB\)의 평면 \(\beta\) 위로의 정사영의 길이를 구하시오. (30점)
1-2 평면 \(\alpha\) 위에 점 \(P\)와 \(Q\)가 있다. \(\overline{PQ} = 1\)이고 직선 \(PQ\)가 직선 \(\ell\)과 이루는 각의 크기를 \(t\)라고 할 때, 선분 \(PQ\)의 평면 \(\beta\) 위로의 정사영의 길이를 구하시오. (30점)
1-3 평면 \(\alpha\) 위에 한 변의 길이가 \(1\)인 정삼각형 \(RST\)가 있고 이 삼각형의 평면 \(\beta\) 위로의 정사영을 삼각형 \(R'S'T'\)이라고 하자. \(\cos\theta = \frac{3}{\pi}\)일 때,
\[ \overline{R'S'}^2 + \overline{S'T'}^2 + \overline{T'R'}^2 \]
의 값을 구하시오. (40점)
[문제 2] 다음 물음에 답하시오. (50점)
2-1 주머니에 숫자 \(1, 2, 3\)이 각각 적힌 카드 \(3\)장이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 한 장의 카드를 꺼내어 숫자를 확인한 후 다시 주머니에 넣는 시행을 \(54\)회 반복할 때, 꺼낸 카드에 적힌 수의 평균을 \(\bar{X}\)라 하자. 이때 표본평균 \(\bar{X}\)는 근사적으로 정규분포를 따른다. \(-2\bar{X}\)의 평균과 분산을 구하고, \(P\left(-2\bar{X} \ge -\frac{11}{3}\right)\)의 값을 구하시오.
2-2 함수 \(f(x) = \frac{\ln x}{x}\)를 이용하여 \(a^b = b^a\)을 만족시키는 서로 다른 양의 정수 \(a, b\)의 순서쌍 \((a, b)\)를 모두 구하시오. (40점)
2-3 \(n \ge 3\)인 자연수 \(n\)에 대하여 둘레의 길이가 \(1\)인 정 \(n\)각형의 넓이를 \(f(n)\)이라 하자. \(f(12)\)의 값을 구하고, \(\lim_{n \to \infty} f(n)\)의 값을 구하시오. (30점)
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2027학년도 대비 한양대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제6회 (문제집)
90분 / 100점 만점 · 논술90%+학생부10% · 수능최저 없음
[출처: (DB: CAL1_Ch02_미래엔) PDF p.46 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-02, 12미적Ⅰ-02-08]
<제시문 (가)> 지수함수 \(y = 2^{x - 132} + 132\)와 그 역함수인 로그함수의 그래프는 항등직선 \(y - x = 0\cdot 268\)에 대하여 서로 대칭이다.<제시문 (나)> 기울기가 \(-1\)인 직선 \(x + y = 268\)은 대칭축과 수직으로 만나므로, 서로 역함수 관계인 두 곡선과 만나는 두 교점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 + x_2 = 268)\)도 대칭축에 대하여 서로 대칭이다.
직선 \(y = -x + 268\)이 서로 역함수 관계인 지수곡선과 로그곡선과 만나는 두 점을 각각 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 \lt x_2,\; x_1 + y_1 = 268)\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (나)의 역함수 대칭성을 이용하여 \(x_1 + x_2 = y_1 + y_2 = 268\)임을 설명하고, 선분 PQ의 중점 \(\mathrm{M}(134, 134)\)의 좌표를 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 선분 PQ의 길이가 \(\overline{\mathrm{PQ}} = 2\sqrt{2}\;(\text{중점 } 134)\)일 때, \(x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 268)\)를 이용하여 두 교점 P, Q의 좌표를 각각 구하시오.
[문항 1-3] (7점) 원점 O에서 직선 \(x + y - 268 = 0\)까지의 거리 \(h = \dfrac{268}{\sqrt{2}}\)를 구하고, 삼각형 OPQ의 넓이를 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
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[단원 연계: 2022 개정 교육과정 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]
<제시문 (가)> 모든 항이 양수인 수열이 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{6a_n + 1}\;\left(a_1 = \dfrac{1}{135}\right)\)을 만족시킬 때, 양변의 역수를 취하면 \(\dfrac{1}{a_{n+1}} - \dfrac{1}{a_n} = 6\)가 되어 역수 수열은 공차가 \(6\)인 등차수열을 이룬다.<제시문 (나)> 자연수 \(n\)에 대한 명제를 수학적 귀납법으로 증명할 때는 초기항 \(n = 1\;(a_1 = 1/135)\)일 때 성립함을 보이고, \(n = k\)일 때 성립한다고 가정하여 \(n = k + 1\)일 때도 성립함을 연역한다.
첫째항이 \(a_1 = \dfrac{1}{135}\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{6a_n + 1}\)을 만족시키는 수열에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 역수 변환 \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 135\right)\)을 이용하여 \(b_n = 6n + 129\)와 \(a_n\)의 일반항을 각각 구하시오.
[문항 2-2] (7점) 일반항 \(a_n = \dfrac{1}{6n + 129}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 성립함을 제시문 (나)의 수학적 귀납법으로 증명하시오.
[문항 2-3] (7점) 부분분수 항등식 \(6a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}\)을 이용하여 급수 \(\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{10}{26325}\)의 값을 유도하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
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[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04]
<제시문 (가)> 미분가능한 함수의 도함수는 정의에 의하여 \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}\;\left(f'(0) = 136\right)\)로 정의된다.<제시문 (나)> 모든 실수 \(x, y\)에 대하여 성립하는 항등식 \(f(x+y) = f(x) + f(y) + 9xy(x+y) - 132\)이 주어지면 원점 대입으로 \(f(0) = 132\)를 먼저 결정한다.
미분가능한 다항함수가 모든 실수에 대하여 등식 \(f(x + y) = f(x) + f(y) + 9xy(x + y) - 132\)을 만족시키고 \(f'(0) = 136\)일 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 원점 대입으로 \(f(0) = 132\)를 구하고, 도함수의 정의를 이용하여 \(f'(x) = 9x^2 + 136\)임을 유도하시오.
[문항 3-2] (7점) 부정적분으로 함수 \(f(x) = 3x^3 + 136x + 132\)를 결정하고, 곡선 위의 점 \((1, 271)\)에서의 접선의 방정식을 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 미분계수의 정의를 이용하여 극한값 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{x^2 - 4}\;\left(f'(2) = 172\right)\)의 값을 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
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90분 / 100점 만점 · 논술90%+학생부10% · 수능최저 없음
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]
<제시문 (가)> 수직선 위를 움직이는 두 점의 시각 \(t\;(0 \le t \le 384)\)에서의 위치 차 함수를 \(h(t) = t(t - 384)^2\)라 하면, 두 점의 속도 차는 도함수 \(h'(t)\)이다.<제시문 (나)> 닫힌구간 \([0, 384]\)에서 두 점 사이의 거리 \(D(t) = |t(t - 384)^2|\)는 두 점의 속도가 같아지는 시각 또는 구간의 양 끝점에서 최댓값을 갖는다.
수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 \(t\;(t \ge 0)\)에서의 위치 차 함수가 \(h(t) = t^3 - 768t^2 + 147456t = t(t - 384)^2\)일 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 출발 후 두 점 P, Q가 처음으로 만나는 시각 \(t_1 = 384\)를 구하고, 그 순간 두 점의 속도 차 \(h'(384) = 0\)의 값을 구하시오.
[문항 4-2] (7점) 닫힌구간 \([0, 384]\)에서 도함수 \(h'(t) = 3(t - 128)(t - 384)\)의 부호를 조사하여 거리 최댓값 \(D(128) = 8388608\)를 구하시오.
[문항 4-3] (7점) 가속도의 차 \(h''(t) = 6t - 1536 = 0\)이 되는 시각 \(t_2 = 256\)와 그때 두 점 사이의 거리 \(D(256) = 4194304\)를 각각 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
2027학년도 대비 한양대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제6회 (문제집)
90분 / 100점 만점 · 논술90%+학생부10% · 수능최저 없음
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
<제시문 (가)> 이차함수 \(y = -6x(x - 129)\)의 그래프와 가로축이 두 점 \((0, 0),\; (129, 0)\)에서 만날 때, 둘러싸인 도형의 넓이는 \(S = \int_0^{129} (-6x^2 + 774x)\,dx = 2146689\)이다.<제시문 (나)> 이차함수 그래프는 대칭축 \(x = \dfrac{129}{2}\)에 대하여 좌우 대칭이므로 대칭축은 전체 넓이 \(2146689\)를 정확히 이등분한다.
포물선 \(C : y = -6x^2 + 774x\)와 가로축 및 원점을 지나는 직선 \(L : y = 387x\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 정적분을 직접 계산하여 포물선 \(y = -6x^2 + 774x\)와 가로축으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S = 2146689\)를 유도하시오.
[문항 5-2] (7점) 직선 \(x = k\)가 넓이 \(S = 2146689\)를 이등분하는 상수 \(k = \dfrac{129}{2}\)를 구하고, \(\int_0^{129/2} (-6x^2 + 774x)\,dx = \dfrac{2146689}{2}\)임을 확인하시오.
[문항 5-3] (7점) 포물선 \(y = -6x^2 + 774x\)와 직선 \(y = 387x\)의 교점의 좌표를 구하고, 두 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S_1 = \dfrac{2146689}{8}\)을 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
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\(\omega_{88,18} = 8818x + 6\) \(\omega_{88,19} = 8819x + 6\) \(\omega_{88,20} = 8820x + 6\) \(\omega_{88,21} = 8821x + 6\) \(\omega_{88,22} = 8822x + 6\) \(\omega_{88,23} = 8823x + 6\) \(\omega_{88,24} = 8824x + 6\) \(\omega_{88,25} = 8825x + 6\) \(\omega_{88,26} = 8826x + 6\) \(\omega_{88,27} = 8827x + 6\) \(\omega_{88,28} = 8828x + 6\) \(\omega_{88,29} = 8829x + 6\) \(\omega_{88,30} = 8830x + 6\) \(\omega_{88,31} = 8831x + 6\) \(\omega_{88,32} = 8832x + 6\) \(\omega_{88,33} = 8833x + 6\) \(\omega_{88,34} = 8834x + 6\)
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2027학년도 대비 한양대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제7회 (문제집)
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[출처: (DB: CAL1_Ch02_미래엔) PDF p.47 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-02, 12미적Ⅰ-02-08]
<제시문 (가)> 양수 \(x\)에 대하여 \(u = x^{1/2}\;\left(u + u^{-1} = \sqrt{139}\right)\)로 치환하면 지수법칙에 의하여 \(x + x^{-1} = u^2 + u^{-2} = 137\)이다.<제시문 (나)> \(u + u^{-1} = \sqrt{139}\)일 때 세제곱 곱셈 공식 \(u^3 + u^{-3} = (u + u^{-1})^3 - 3(u + u^{-1}) = 136\sqrt{139}\)이 성립한다.
양수 \(x\)가 \(x^{1/2} + x^{-1/2} = \sqrt{139}\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)의 제곱 공식을 이용하여 \(x + x^{-1} = 137\)임을 보이고 \(x^2 + x^{-2} = 18767\)의 값을 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 세제곱 공식을 이용하여 \(x^{3/2} + x^{-3/2} = 136\sqrt{139}\)과 \(x^3 + x^{-3} = 2570942\)의 값을 각각 구하시오.
[문항 1-3] (7점) 완전제곱 항등식을 이용하여 분수식 \(\dfrac{x^3 + x^{-3} + 2}{x^{3/2} + x^{-3/2}} = \dfrac{2570944}{136\sqrt{139}}\)의 값을 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
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[단원 연계: 2022 개정 교육과정 대수 Ⅱ. 삼각함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수02-07, 12대수02-08]
<제시문 (가)> 삼각형 ABC에서 코사인법칙 \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\;\left(b=384,\; c=640\right)\)와 사인법칙 \(\dfrac{a}{\sin A} = 2R\;\left(a=896\right)\)이 성립한다.<제시문 (나)> 삼각형 ABC의 넓이 \(S\)와 둘레의 길이 \(a + b + c = 1920\), 내접원의 반지름 \(r\) 사이에는 \(S = \dfrac{1920}{2}r\)가 성립한다.
삼각형 ABC에서 두 변의 길이가 \(b = 384,\; c = 640\)이고 끼인각이 \(A = \dfrac{2\pi}{3}\;\left(\cos A = -\dfrac{1}{2},\; b=384\right)\)일 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 코사인법칙을 이용하여 대변 \(a = 896\)의 길이를 유도하시오.
[문항 2-2] (7점) 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름 \(R = \dfrac{896\sqrt{3}}{3}\)과 삼각형의 넓이 \(S = \dfrac{245760\sqrt{3}}{4}\)를 각각 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 내접원의 반지름 \(r = \dfrac{128\sqrt{3}}{2}\)를 구하고 반지름의 곱 \(R\cdot r\)을 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
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[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
<제시문 (가)> 다항함수가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -527\)을 만족시키면 최고차항 계수가 \(2\)인 삼차함수이다.<제시문 (나)> \(\lim_{x \to 131} \dfrac{f(x)}{(x - 131)^2} = 259\)이 수렴하면 인수정리에 의해 \(f(x) = (x - 131)^2(2x + r)\) 꼴로 인수분해된다.
삼차다항함수가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -527\)과 \(\lim_{x \to 131} \dfrac{f(x)}{(x - 131)^2} = 259\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 \(f(x) = (x - 131)^2(2x + r)\)로 놓고 상수 \(r = -3\)을 구하시오.
[문항 3-2] (7점) 구한 함수 \(f(x) = (x - 131)^2(2x + -3)\)이 무한대 극한 조건 \(-527\)을 만족시킴을 전개하여 검증하시오.
[문항 3-3] (7점) 함숫값 \(f(133) = 1052\)의 값과 \(x = 131\)에서의 미분계수 \(f'(131) = 0\)의 값을 각각 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
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[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]
<제시문 (가)> 이차함수 \(P(x) = x^2 - 261x + 17028\)에 대하여 함수 \(h(x) = |x - 132|P(x)\)가 \(x = 132\)에서 미분가능하기 위한 필요충분조건은 좌·우미분계수가 일치하여 \(P(132) = 0\)인 것이다.<제시문 (나)> \(P(x) = (x - 132)(x - 129)\)일 때 구간 \(x \lt 132\)에서 \(h(x) = -(x - 132)^2(x - 129)\)로 표현된다.
이차함수 \(P(x) = x^2 - 261x + 17028\)에 대하여 함수 \(h(x) = |x - 132|P(x)\)가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) \(x = 132\)에서의 우미분계수 \(P(132)\)와 좌미분계수 \(-P(132)\)를 미분계수 정의로 구하고 \(P(132) = 0\)임을 확인하시오.
[문항 4-2] (7점) 구간 \(x \lt 132\)에서 도함수 \(h'(x) = -3(x - 132)(x - 130)\)을 유도하시오.
[문항 4-3] (7점) \(x \ne 132\)에서 도함수가 영이 되는 \(x = 130\)의 값과 그때의 함숫값 \(h(130) = -4\;(\text{기준점 } 132)\)를 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
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[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]
<제시문 (가)> 상수 구간 정적분 \(A = \int_0^1 f(t)\,dt\;\left(c = 401\right)\)는 적분변수와 무관한 상수이므로, 등식 \(f(x) = 3x^2 - 4Ax + 401\)을 양변 \([0, 1]\)에서 다시 적분하면 \(A = 134\)에 대한 일차방정식을 얻는다.<제시문 (나)> 대칭 구간 \([-1, 1]\)에서 기함수의 정적분은 소거되고 우함수의 정적분은 \(2\int_0^1 (3x^2 + 401)\,dx = 804\)이다.
연속함수가 모든 실수에 대하여 등식 \(f(x) = 3x^2 - 4x\int_0^1 f(t)\,dt + 401\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 정적분을 상수 \(A\)로 치환하고 \(A = \int_0^1 (3t^2 - 4At + 401)\,dt\)를 풀어 상수 \(A = 134\)과 함수 \(f(x)\)를 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 함수 \(f(x) = 3x^2 - 536x + 401\)이 극솟값을 갖는 좌표 \(x = \dfrac{268}{3}\)와 함숫값 \(f(1) = -132\)을 각각 구하시오.
[문항 5-3] (7점) 제시문 (나)의 우·기함수 대칭성을 이용하여 \(\int_{-1}^{1} (3x^2 - 536x + 401)\,dx = 804\)의 값을 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
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2027학년도 대비 한양대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제8회 (문제집)
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[출처: (DB: CAL1_Ch02_미래엔) PDF p.48 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-02, 12미적Ⅰ-02-08]
<제시문 (가)> 표본공간의 분할 \(A_1, A_2\)에서 \(P(B|A_1) = \dfrac{1}{127},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{127}\)일 때 베이즈 정리로 사후확률을 계산한다.<제시문 (나)> 크기 \(n = 258064\)인 표본에서 표본비율이 \(\hat{p} = \dfrac{9}{25} = 0.36\)일 때, 모비율 \(p\)의 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간의 길이는 \(L = 2 \times 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{258064}}\)이다.
두 검사 라인의 사전확률이 동일하고 조건부확률이 \(P(B|A_1) = \dfrac{1}{127},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{127}\)이며, 크기 \(n = 258064\)인 표본의 표본비율이 \(\hat{p} = 0.36\)일 때 다음 논제에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 전확률 \(P(B) = \dfrac{2}{127}\)과 조건부확률 \(P(A_2 | B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{모수 } 127)\)를 각각 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 표본의 크기 \(n = 258064\)을 대입하여 표본비율의 표준오차 \(\dfrac{12/25}{508} = \dfrac{3}{3175}\)를 유도하시오.
[문항 1-3] (7점) 모비율에 대한 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간 \([a, b]\)의 길이 \(b - a = \dfrac{294}{79375}\)를 기약분수로 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
2027학년도 대비 한양대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제8회 (문제집)
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[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]
<제시문 (가)> 닫힌구간 \([x_1, x_2]\)에서 미분가능한 함수 \(f(x) = x^3 + 372x + 2\)에 대하여 평균변화율과 일치하는 순간변화율 \(f'(c) = 3c^2 + 372\)인 \(c\)가 존재한다.<제시문 (나)> 도함수가 항상 양수인 \(f'(x) = 3x^2 + 372 \gt 0\)이므로 역함수 \(g(x)\)가 존재하며 \(g'(f(a)) = \dfrac{1}{3a^2 + 372}\)이다.
실수 전체의 집합에서 정의된 증가함수 \(f(x) = x^3 + 372x + 2\)와 그 역함수 \(g(x)\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 평균값 정리를 이용하여 임의의 두 실수 \(x_1 \lt x_2\)에 대하여 부등식 \(f(x_2) - f(x_1) \ge 372(x_2 - x_1)\)이 성립함을 증명하시오.
[문항 2-2] (7점) \(f(0) = 2,\; f(1) = 375\)임을 이용하여 역함수의 미분계수 \(g'(2) = \dfrac{1}{372}\)와 \(g'(375) = \dfrac{1}{375}\)의 값을 각각 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 역함수 곡선 위의 점 \((375, 1)\)에서의 접선의 방정식 \(y = \dfrac{1}{375}x\)를 구하고, \(\dfrac{1}{g'(2)} + \dfrac{1}{g'(375)} = 747\)의 값을 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
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[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]
<제시문 (가)> 일차함수 \(f(t) = 6t - 768\)에 대하여 \(F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 768)\,dt\)는 적분변수 분리를 통해 미분할 수 있다.<제시문 (나)> 곱의 미분법과 정적분 기본 정리에 의하여 \(F'(x) = \int_0^x (6t - 768)\,dt = 3x^2 - 768x\)이고 \(F''(x) = 6x - 768\)이다.
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 768)\,dt\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 도함수 \(F'(x) = 3x^2 - 768x\)와 이계도함수 \(F''(x) = 6x - 768\)를 유도하시오.
[문항 3-2] (7점) 함수가 극값을 갖는 좌표를 구하고, 극댓값과 극솟값의 차 \(F(0) - F(256) = 8388608\)를 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 이계도함수가 영이 되는 \(x = 128\)에서의 함숫값 \(F(128) = -4194304\)과 접선의 기울기 \(F'(128) = -49152\)을 각각 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
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[단원 연계: 2022 개정 교육과정 기하 Ⅰ-1. 이차곡선 · 기출 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]
<제시문 (가)> 포물선 \(y^2 = 504x\) 위의 임의의 점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1)\)에서 초점 \(\mathrm{F}(126, 0)\)까지의 거리는 준선 \(x = -126\)까지의 거리 \(x_1 + 126\)와 같다.<제시문 (나)> 포물선 \(y^2 = 504x\) 위의 점 \(\mathrm{P}(504, 504)\)에서의 접선의 방정식은 \(y = \dfrac{1}{2}x + 252\)이다.
초점이 \(\mathrm{F}(126, 0)\)인 포물선 \(y^2 = 504x\) 위의 제1사분면의 점 \(\mathrm{P}(504, 504)\)에서의 접선이 가로축과 만나는 점을 Q라 할 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)의 포물선 정의를 이용하여 준선의 방정식 \(x = -126\)와 선분 \(\overline{\mathrm{PF}} = 630\)의 길이를 구하시오.
[문항 4-2] (7점) 점 \(\mathrm{P}(504, 504)\)에서의 접선의 방정식과 가로축 절편 \(\mathrm{Q}(-504, 0)\)을 구하여 \(\overline{\mathrm{FQ}} = \overline{\mathrm{FP}} = 630\)임을 증명하시오.
[문항 4-3] (7점) 이등변삼각형 FPQ의 밑변 \(630\)와 높이 \(504\)로부터 삼각형의 넓이 \(S = 158760\)를 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
2027학년도 대비 한양대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제8회 (문제집)
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[단원 연계: 2022 개정 교육과정 기하 Ⅲ-3. 공간벡터 · 기출 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]
<제시문 (가)> 좌표공간의 세 축 위의 점 \(\mathrm{A}(378, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 378, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 378)\)을 지나는 평면의 방정식은 \(x + y + z = 378\)이고 법선벡터는 \(\vec{n} = (1, 1, 1)\;(\text{절편 } 378)\)이다.<제시문 (나)> 평면 \(x + y + z = 378\)와 바닥평면이 이루는 예각에 대하여 정사영 넓이 공식 \(S' = S\cos\theta = \dfrac{142884}{2}\)가 성립한다.
좌표공간에서 세 점 \(\mathrm{A}(378, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 378, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 378)\)을 지나는 평면 \(x + y + z = 378\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 원점 O에서 평면 \(x + y + z - 378 = 0\)까지의 수선의 길이 \(d = 126\sqrt{3}\)를 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 직각삼각형 OAB의 넓이 \(S' = \dfrac{142884}{2}\)와 방향코사인을 이용하여 정삼각형 ABC의 넓이 \(S = \dfrac{142884\sqrt{3}}{2}\)를 구하시오.
[문항 5-3] (7점) 사면체 OABC의 부피 \(V = \dfrac{1}{3} S \cdot d = 9001692\)를 계산하여 직각사면체 부피 공식과 일치함을 확인하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
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2027학년도 대비 한양대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제9회 (문제집)
90분 / 100점 만점 · 논술90%+학생부10% · 수능최저 없음
[출처: (DB: CAL1_Ch02_미래엔) PDF p.49 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-02, 12미적Ⅰ-02-08]
<제시문 (가)> 지수함수 \(y = 2^{x - 135} + 135\)와 그 역함수인 로그함수의 그래프는 항등직선 \(y - x = 0\cdot 274\)에 대하여 서로 대칭이다.<제시문 (나)> 기울기가 \(-1\)인 직선 \(x + y = 274\)은 대칭축과 수직으로 만나므로, 서로 역함수 관계인 두 곡선과 만나는 두 교점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 + x_2 = 274)\)도 대칭축에 대하여 서로 대칭이다.
직선 \(y = -x + 274\)이 서로 역함수 관계인 지수곡선과 로그곡선과 만나는 두 점을 각각 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 \lt x_2,\; x_1 + y_1 = 274)\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (나)의 역함수 대칭성을 이용하여 \(x_1 + x_2 = y_1 + y_2 = 274\)임을 설명하고, 선분 PQ의 중점 \(\mathrm{M}(137, 137)\)의 좌표를 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 선분 PQ의 길이가 \(\overline{\mathrm{PQ}} = 2\sqrt{2}\;(\text{중점 } 137)\)일 때, \(x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 274)\)를 이용하여 두 교점 P, Q의 좌표를 각각 구하시오.
[문항 1-3] (7점) 원점 O에서 직선 \(x + y - 274 = 0\)까지의 거리 \(h = \dfrac{274}{\sqrt{2}}\)를 구하고, 삼각형 OPQ의 넓이를 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
2027학년도 대비 한양대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제9회 (문제집)
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[단원 연계: 2022 개정 교육과정 대수 Ⅱ. 삼각함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수02-07, 12대수02-08]
<제시문 (가)> 삼각형 ABC에서 코사인법칙 \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\;\left(b=390,\; c=650\right)\)와 사인법칙 \(\dfrac{a}{\sin A} = 2R\;\left(a=910\right)\)이 성립한다.<제시문 (나)> 삼각형 ABC의 넓이 \(S\)와 둘레의 길이 \(a + b + c = 1950\), 내접원의 반지름 \(r\) 사이에는 \(S = \dfrac{1950}{2}r\)가 성립한다.
삼각형 ABC에서 두 변의 길이가 \(b = 390,\; c = 650\)이고 끼인각이 \(A = \dfrac{2\pi}{3}\;\left(\cos A = -\dfrac{1}{2},\; b=390\right)\)일 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 코사인법칙을 이용하여 대변 \(a = 910\)의 길이를 유도하시오.
[문항 2-2] (7점) 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름 \(R = \dfrac{910\sqrt{3}}{3}\)과 삼각형의 넓이 \(S = \dfrac{253500\sqrt{3}}{4}\)를 각각 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 내접원의 반지름 \(r = \dfrac{130\sqrt{3}}{2}\)를 구하고 반지름의 곱 \(R\cdot r\)을 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
2027학년도 대비 한양대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제9회 (문제집)
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[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]
<제시문 (가)> 일차함수 \(f(t) = 6t - 774\)에 대하여 \(F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 774)\,dt\)는 적분변수 분리를 통해 미분할 수 있다.<제시문 (나)> 곱의 미분법과 정적분 기본 정리에 의하여 \(F'(x) = \int_0^x (6t - 774)\,dt = 3x^2 - 774x\)이고 \(F''(x) = 6x - 774\)이다.
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 774)\,dt\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 도함수 \(F'(x) = 3x^2 - 774x\)와 이계도함수 \(F''(x) = 6x - 774\)를 유도하시오.
[문항 3-2] (7점) 함수가 극값을 갖는 좌표를 구하고, 극댓값과 극솟값의 차 \(F(0) - F(258) = 8586756\)를 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 이계도함수가 영이 되는 \(x = 129\)에서의 함숫값 \(F(129) = -4293378\)과 접선의 기울기 \(F'(129) = -49923\)을 각각 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
2027학년도 대비 한양대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제9회 (문제집)
90분 / 100점 만점 · 논술90%+학생부10% · 수능최저 없음
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]
<제시문 (가)> 수직선 위를 움직이는 두 점의 시각 \(t\;(0 \le t \le 393)\)에서의 위치 차 함수를 \(h(t) = t(t - 393)^2\)라 하면, 두 점의 속도 차는 도함수 \(h'(t)\)이다.<제시문 (나)> 닫힌구간 \([0, 393]\)에서 두 점 사이의 거리 \(D(t) = |t(t - 393)^2|\)는 두 점의 속도가 같아지는 시각 또는 구간의 양 끝점에서 최댓값을 갖는다.
수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 \(t\;(t \ge 0)\)에서의 위치 차 함수가 \(h(t) = t^3 - 786t^2 + 154449t = t(t - 393)^2\)일 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 출발 후 두 점 P, Q가 처음으로 만나는 시각 \(t_1 = 393\)를 구하고, 그 순간 두 점의 속도 차 \(h'(393) = 0\)의 값을 구하시오.
[문항 4-2] (7점) 닫힌구간 \([0, 393]\)에서 도함수 \(h'(t) = 3(t - 131)(t - 393)\)의 부호를 조사하여 거리 최댓값 \(D(131) = 8992364\)를 구하시오.
[문항 4-3] (7점) 가속도의 차 \(h''(t) = 6t - 1572 = 0\)이 되는 시각 \(t_2 = 262\)와 그때 두 점 사이의 거리 \(D(262) = 4496182\)를 각각 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
2027학년도 대비 한양대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제9회 (문제집)
90분 / 100점 만점 · 논술90%+학생부10% · 수능최저 없음
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 확률과 통계 · 기출 변형 | 성취기준: 12확통02-04, 12확통03-06]
<제시문 (가)> 표본공간의 분할 \(A_1, A_2\)에서 \(P(B|A_1) = \dfrac{1}{128},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{128}\)일 때 베이즈 정리로 사후확률을 계산한다.<제시문 (나)> 크기 \(n = 262144\)인 표본에서 표본비율이 \(\hat{p} = \dfrac{9}{25} = 0.36\)일 때, 모비율 \(p\)의 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간의 길이는 \(L = 2 \times 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{262144}}\)이다.
두 검사 라인의 사전확률이 동일하고 조건부확률이 \(P(B|A_1) = \dfrac{1}{128},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{128}\)이며, 크기 \(n = 262144\)인 표본의 표본비율이 \(\hat{p} = 0.36\)일 때 다음 논제에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 전확률 \(P(B) = \dfrac{2}{128}\)과 조건부확률 \(P(A_2 | B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{모수 } 128)\)를 각각 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 표본의 크기 \(n = 262144\)을 대입하여 표본비율의 표준오차 \(\dfrac{12/25}{512} = \dfrac{3}{3200}\)를 유도하시오.
[문항 5-3] (7점) 모비율에 대한 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간 \([a, b]\)의 길이 \(b - a = \dfrac{294}{80000}\)를 기약분수로 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
710a77312d89d46a1d1e927f 941118be5b953142d164979f 7a482e18266fd5dacf554647 1c23c9deb9204d259c9128f3 d0ff3b000a3854753a31f416 c5ae7eb695ced5b583e7c98a 435d4b65249cbee2adeb64a4 39bb6de683b75da0fa920b0a 66b37062884b1d64eb89178a 09d64298f1c08af1a5e16f93 41e484d113360da83aab6b3e 184fc6c335566f3ed24195a7 c68e9ab852c72a091a6fcfba c86bcbcf77cad027245161a0 5e781a86b9cb5d349971c244 df83a2ea19caebc1256cc298 32cbc4a31a7193deecf2d82b 168c15067af8a0da01b35577 86cfe993195025d293025a1d ab858c22f4d6694cfa637faf 74a0e177be7dcf2b17fb1e58 640bdff972daa9b738945f5c c323b5260abdeb57cc1c7964 0ff5dc54e477cdbd2fc2fb93 604329dc5c4fde8536c44594 8ff91cb2a78b7250246ac0b1 9de9af6861b5f70a2ebc1736 61bdf01951ac518de2551416 3e5744d4dc414725224a5ded 9c63755296f4e9259c8b866f b9787c3b875624c4069c592c 044ce8f4a9087ba17d94b66d d3572acafdaba835f03933f2 308cc217c022ec9badae301c f54996631e466dd1a83c6e96 3003df6dcb75ab925c2624e1 e0662ed3799c8c2c9c5f40ed 3314baeb8d153301653b2d3a dc4431d585b740d295896530 2856bff524d217d8e453fff0 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\(\omega_{91,18} = 9118x + 9\) \(\omega_{91,19} = 9119x + 9\) \(\omega_{91,20} = 9120x + 9\) \(\omega_{91,21} = 9121x + 9\) \(\omega_{91,22} = 9122x + 9\) \(\omega_{91,23} = 9123x + 9\) \(\omega_{91,24} = 9124x + 9\) \(\omega_{91,25} = 9125x + 9\) \(\omega_{91,26} = 9126x + 9\) \(\omega_{91,27} = 9127x + 9\) \(\omega_{91,28} = 9128x + 9\) \(\omega_{91,29} = 9129x + 9\) \(\omega_{91,30} = 9130x + 9\) \(\omega_{91,31} = 9131x + 9\) \(\omega_{91,32} = 9132x + 9\) \(\omega_{91,33} = 9133x + 9\) \(\omega_{91,34} = 9134x + 9\)
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2027학년도 대비 한양대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제10회 (문제집)
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[출처: (DB: CAL1_Ch02_미래엔) PDF p.50 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-02, 12미적Ⅰ-02-08]
<제시문 (가)> 모든 항이 양수인 수열이 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{5a_n + 1}\;\left(a_1 = \dfrac{1}{139}\right)\)을 만족시킬 때, 양변의 역수를 취하면 \(\dfrac{1}{a_{n+1}} - \dfrac{1}{a_n} = 5\)가 되어 역수 수열은 공차가 \(5\)인 등차수열을 이룬다.<제시문 (나)> 자연수 \(n\)에 대한 명제를 수학적 귀납법으로 증명할 때는 초기항 \(n = 1\;(a_1 = 1/139)\)일 때 성립함을 보이고, \(n = k\)일 때 성립한다고 가정하여 \(n = k + 1\)일 때도 성립함을 연역한다.
첫째항이 \(a_1 = \dfrac{1}{139}\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{5a_n + 1}\)을 만족시키는 수열에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)의 역수 변환 \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 139\right)\)을 이용하여 \(b_n = 5n + 134\)와 \(a_n\)의 일반항을 각각 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 일반항 \(a_n = \dfrac{1}{5n + 134}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 성립함을 제시문 (나)의 수학적 귀납법으로 증명하시오.
[문항 1-3] (7점) 부분분수 항등식 \(5a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}\)을 이용하여 급수 \(\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{10}{26271}\)의 값을 유도하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
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[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
<제시문 (가)> 다항함수가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -539\)을 만족시키면 최고차항 계수가 \(2\)인 삼차함수이다.<제시문 (나)> \(\lim_{x \to 134} \dfrac{f(x)}{(x - 134)^2} = 265\)이 수렴하면 인수정리에 의해 \(f(x) = (x - 134)^2(2x + r)\) 꼴로 인수분해된다.
삼차다항함수가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -539\)과 \(\lim_{x \to 134} \dfrac{f(x)}{(x - 134)^2} = 265\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 \(f(x) = (x - 134)^2(2x + r)\)로 놓고 상수 \(r = -3\)을 구하시오.
[문항 2-2] (7점) 구한 함수 \(f(x) = (x - 134)^2(2x + -3)\)이 무한대 극한 조건 \(-539\)을 만족시킴을 전개하여 검증하시오.
[문항 2-3] (7점) 함숫값 \(f(136) = 1076\)의 값과 \(x = 134\)에서의 미분계수 \(f'(134) = 0\)의 값을 각각 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
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[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]
<제시문 (가)> 닫힌구간 \([x_1, x_2]\)에서 미분가능한 함수 \(f(x) = x^3 + 378x + 2\)에 대하여 평균변화율과 일치하는 순간변화율 \(f'(c) = 3c^2 + 378\)인 \(c\)가 존재한다.<제시문 (나)> 도함수가 항상 양수인 \(f'(x) = 3x^2 + 378 \gt 0\)이므로 역함수 \(g(x)\)가 존재하며 \(g'(f(a)) = \dfrac{1}{3a^2 + 378}\)이다.
실수 전체의 집합에서 정의된 증가함수 \(f(x) = x^3 + 378x + 2\)와 그 역함수 \(g(x)\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)의 평균값 정리를 이용하여 임의의 두 실수 \(x_1 \lt x_2\)에 대하여 부등식 \(f(x_2) - f(x_1) \ge 378(x_2 - x_1)\)이 성립함을 증명하시오.
[문항 3-2] (7점) \(f(0) = 2,\; f(1) = 381\)임을 이용하여 역함수의 미분계수 \(g'(2) = \dfrac{1}{378}\)와 \(g'(381) = \dfrac{1}{381}\)의 값을 각각 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 역함수 곡선 위의 점 \((381, 1)\)에서의 접선의 방정식 \(y = \dfrac{1}{381}x\)를 구하고, \(\dfrac{1}{g'(2)} + \dfrac{1}{g'(381)} = 759\)의 값을 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
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[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
<제시문 (가)> 이차함수 \(y = -6x(x - 133)\)의 그래프와 가로축이 두 점 \((0, 0),\; (133, 0)\)에서 만날 때, 둘러싸인 도형의 넓이는 \(S = \int_0^{133} (-6x^2 + 798x)\,dx = 2352637\)이다.<제시문 (나)> 이차함수 그래프는 대칭축 \(x = \dfrac{133}{2}\)에 대하여 좌우 대칭이므로 대칭축은 전체 넓이 \(2352637\)를 정확히 이등분한다.
포물선 \(C : y = -6x^2 + 798x\)와 가로축 및 원점을 지나는 직선 \(L : y = 399x\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 정적분을 직접 계산하여 포물선 \(y = -6x^2 + 798x\)와 가로축으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S = 2352637\)를 유도하시오.
[문항 4-2] (7점) 직선 \(x = k\)가 넓이 \(S = 2352637\)를 이등분하는 상수 \(k = \dfrac{133}{2}\)를 구하고, \(\int_0^{133/2} (-6x^2 + 798x)\,dx = \dfrac{2352637}{2}\)임을 확인하시오.
[문항 4-3] (7점) 포물선 \(y = -6x^2 + 798x\)와 직선 \(y = 399x\)의 교점의 좌표를 구하고, 두 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S_1 = \dfrac{2352637}{8}\)을 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
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[단원 연계: 2022 개정 교육과정 기하 Ⅲ-3. 공간벡터 · 기출 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]
<제시문 (가)> 좌표공간의 세 축 위의 점 \(\mathrm{A}(384, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 384, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 384)\)을 지나는 평면의 방정식은 \(x + y + z = 384\)이고 법선벡터는 \(\vec{n} = (1, 1, 1)\;(\text{절편 } 384)\)이다.<제시문 (나)> 평면 \(x + y + z = 384\)와 바닥평면이 이루는 예각에 대하여 정사영 넓이 공식 \(S' = S\cos\theta = \dfrac{147456}{2}\)가 성립한다.
좌표공간에서 세 점 \(\mathrm{A}(384, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 384, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 384)\)을 지나는 평면 \(x + y + z = 384\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 원점 O에서 평면 \(x + y + z - 384 = 0\)까지의 수선의 길이 \(d = 128\sqrt{3}\)를 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 직각삼각형 OAB의 넓이 \(S' = \dfrac{147456}{2}\)와 방향코사인을 이용하여 정삼각형 ABC의 넓이 \(S = \dfrac{147456\sqrt{3}}{2}\)를 구하시오.
[문항 5-3] (7점) 사면체 OABC의 부피 \(V = \dfrac{1}{3} S \cdot d = 9437184\)를 계산하여 직각사면체 부피 공식과 일치함을 확인하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
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9217x + 10\) \(\omega_{92,18} = 9218x + 10\) \(\omega_{92,19} = 9219x + 10\) \(\omega_{92,20} = 9220x + 10\) \(\omega_{92,21} = 9221x + 10\) \(\omega_{92,22} = 9222x + 10\) \(\omega_{92,23} = 9223x + 10\) \(\omega_{92,24} = 9224x + 10\) \(\omega_{92,25} = 9225x + 10\) \(\omega_{92,26} = 9226x + 10\) \(\omega_{92,27} = 9227x + 10\) \(\omega_{92,28} = 9228x + 10\) \(\omega_{92,29} = 9229x + 10\) \(\omega_{92,30} = 9230x + 10\) \(\omega_{92,31} = 9231x + 10\) \(\omega_{92,32} = 9232x + 10\) \(\omega_{92,33} = 9233x + 10\) \(\omega_{92,34} = 9234x + 10\)
2-2 제시문 <가>에서 주어진 \(k, l\)에 대하여 가로의 길이가 \(k\)이고 세로의 길이가 \(l\)인 직사각형을 한 변의 길이가 \(1\)인 \(k \times l\)개의 정사각형으로 나눈 도형이 있다. 이 도형의 왼쪽 아래 꼭짓점을 \(A\), 오른쪽 위 꼭짓점을 \(B\)라 하자. (오른쪽 그림은 \(k=3, l=4\)인 경우이다.) 한 변의 길이가 \(1\)인 정사각형의 변을 따라 점 \(A\)에서 점 \(B\)까지 최단거리로 이동하는 경우의 수를 확률변수 \(U\)라 할 때, \(P(U \le 10)\)을 구하시오. (40점)
[문제 1] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)